Matemarijum

 Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati da je  $I_0(\sqrt{2})$ iracionalan broj, gde $I_0$ označava modifikovanu Beselovu funkciju prve vrste. Kao dokazni metod koristićemo metod kontradikcije. Teorema 1:    $I_0(\sqrt{2})=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n!)^22^n}$ Teorema 2:    $I_0(\sqrt{2})$    je iracionalan broj. Dokaz: Pretpostavimo da je  $I_0(\sqrt{2})$  racionalan broj. Tada  $I_0(\sqrt{2})$  možemo zapisati u obliku $\dfrac{p}{q}$ gde su $p$  i $q$ uzajamno prosti  celi brojevi takvi da $q \ge 1$. Na osnovu Teoreme 1 možemo pisati sledeću jednakost: $q!(q-1)!p2^q=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(q!)^22^q}{(n!)^22^n}$ . Kako je leva strana ove jednakosti ceo broj to i $\displaystyle\sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{(q!)^22^q}{(n!)^22^n}$ koja je veća od $0$  mora biti ceo broj. Jasno je da je za $n \ge q+1$ , \(\left(\dfrac{q!}{n!}\right)...