Dokaz da je I0(2)I_0(\sqrt{2}) iracionalan broj

 Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati da je  $I_0(\sqrt{2})$ iracionalan broj, gde $I_0$ označava modifikovanu Beselovu funkciju prve vrste. Kao dokazni metod koristićemo metod kontradikcije.

Teorema 1:  $I_0(\sqrt{2})=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n!)^22^n}$

Teorema 2:  $I_0(\sqrt{2})$  je iracionalan broj.

Dokaz:

Pretpostavimo da je  $I_0(\sqrt{2})$  racionalan broj. Tada  $I_0(\sqrt{2})$  možemo zapisati u obliku $\dfrac{p}{q}$ gde su $p$  i $q$ uzajamno prosti  celi brojevi takvi da $q \ge 1$. Na osnovu Teoreme 1 možemo pisati sledeću jednakost: $q!(q-1)!p2^q=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(q!)^22^q}{(n!)^22^n}$ . Kako je leva strana ove jednakosti ceo broj to i $\displaystyle\sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{(q!)^22^q}{(n!)^22^n}$ koja je veća od $0$  mora biti ceo broj. Jasno je da je za $n \ge q+1$ , $\left(\dfrac{q!}{n!}\right)^2 \le \dfrac{1}{(q+1)^{2(n-q)}}$ pa je $\displaystyle\sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{(q!)^22^q}{(n!)^22^n}\le \displaystyle\sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{1}{(q+1)^{2(n-q)}\sqrt{2}^{2(n-q)}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\left(2(q+1)^2\right)^k}=\frac{1}{2(q+1)^2-1}<1$ . Dakle, pokazali smo da važi: $0< \displaystyle\sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{(q!)^22^q}{(n!)^22^n}<1$ odakle sledi da: $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(q!)^22^q}{(n!)^22^n} \not\in\mathbb{Z}$  , tj. došli smo do kontradikcije, pa zaključujemo da je  $I_0(\sqrt{2})$  iracionalan broj.

$\blacksquare$