Dokaz formule za \(\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}\)

 Pozdrav svima . Danas ćemo dokazati formulu za   \(\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}\). Kao dokazni metod koristićemo metod direktnog dokaza. Teorema 1:  \[\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n}\]\[\text{gde je} \quad \chi(n)=\begin{cases} 1, & \text{if } n \equiv 1 \pmod{6}\\-1, & \text{if } n \equiv -1 \pmod{6}\\0, & \text{inače}\end{cases}\] Teorema 2: Imamo \[\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\frac{5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdots}{6 \cdot 6 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 18 \cdot 18 \cdot 24 \cdot 30 \cdots}\]izraz čiji su brojioci sekvenca neparnih prostih brojeva većih od \(3\) i čiji su imenioci parni brojevi koji su za jedan veći ili manji od odgovarajućih brojilaca. Dokaz: Na osnovu Teoreme 1 znamo da je \[\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=1-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{17}+\frac{1}{19}-\cdots\] takođe imamo \[\frac{1}{5} \cdot \frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{5}-\frac{1}{25}+\frac{1}{35}-\frac{1}{55}+\cdot

Dokaz da je \(I_0(\sqrt{2})\) iracionalan broj

 Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati da je  \(I_0(\sqrt{2})\) iracionalan broj, gde \( I_0\) označava modifikovanu Beselovu funkciju prve vrste. Kao dokazni metod koristićemo metod kontradikcije.

Teorema 1:  \(I_0(\sqrt{2})=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n!)^22^n}\)

Teorema 2:  \(I_0(\sqrt{2})\)  je iracionalan broj.

Dokaz:

Pretpostavimo da je  \(I_0(\sqrt{2})\)  racionalan broj. Tada  \(I_0(\sqrt{2})\)  možemo zapisati u obliku \( \dfrac{p}{q} \) gde su \( p \)  i \( q\) uzajamno prosti  celi brojevi takvi da \(q \ge 1\). Na osnovu Teoreme 1 možemo pisati sledeću jednakost: \(q!(q-1)!p2^q=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(q!)^22^q}{(n!)^22^n}\) . Kako je leva strana ove jednakosti ceo broj to i \(\displaystyle\sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{(q!)^22^q}{(n!)^22^n}\) koja je veća od \(0\)  mora biti ceo broj. Jasno je da je za \(n \ge q+1\) , \(\left(\dfrac{q!}{n!}\right)^2 \le \dfrac{1}{(q+1)^{2(n-q)}}\) pa je \(\displaystyle\sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{(q!)^22^q}{(n!)^22^n}\le \displaystyle\sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{1}{(q+1)^{2(n-q)}\sqrt{2}^{2(n-q)}}=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\left(2(q+1)^2\right)^k}=\frac{1}{2(q+1)^2-1}<1\) . Dakle, pokazali smo da važi: \(0< \displaystyle\sum_{n=q+1}^{\infty} \frac{(q!)^22^q}{(n!)^22^n}<1\) odakle sledi da: \(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(q!)^22^q}{(n!)^22^n} \not\in\mathbb{Z}\)  , tj. došli smo do kontradikcije, pa zaključujemo da je  \(I_0(\sqrt{2})\)  iracionalan broj.

\(\blacksquare\)

Коментари

Популарни постови са овог блога

Dokaz da je koren iz prostog broja iracionalan broj

Dokaz da je koren iz 2 iracionalan broj

Dokaz formule za \(\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}\)