Matemarijum

 Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati Pitagorinu teoremu koristeći elementarnu algebru.Ovaj dokaz je izveden u Kini pre više od 2000 godina. Teorema: Neka su  \(a\) i \(b\)  katete, a \(c\)  hipotenuza pravouglog trougla. Tada važi jednakost \(c^2=a^2+b^2\) . Dokaz: Posmatrajmo sledeći dijagram koji se sastoji od velikog kvadrata sa stranicama dužine \(a+b\) i malog kvadrata sa  stranicama  dužine \(c\) i uočimo četiri pravougla trougla sa katetama \(a,b\) i hipotenuzom \(c\). Označimo površinu velikog kvadrata sa \(P\). Tada je \[P=(a+b)(a+b)\] Neka je \(P_1\) površina jednog od četiri pravougla trougla , a \(P_2\) površina malog kvadrata sa  stranicama  dužine \(c\). Tada imamo da je: \[P_1=\frac{ab}{2}\]\[P_2=c^2\] Kako je \(P=4P_1+P_2\) možemo zapisati sledeću jednakost: \[(a+b)(a+b)=4 \cdot \frac{ab}{2}+c^2\] Odavde imamo da je: \[a^2+2ab+b^2=2ab+c^2\] Odnosno, kad oduzmemo \(2ab\) sa obe strane jednakosti dobijamo: \[c^2=a^2+b^2\] \(\blacksquare\)

Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati da je \(\sqrt{2}\) iracionalan broj. Kao dokazni metod koristićemo metod kontradikcije. Ovaj dokaz je prvi izveo grčki filozof Aristotel. Teorema:  \(\sqrt{2}\)  je iracionalan broj. Dokaz: Pretpostavimo da je \(\sqrt{2}\) racionalan broj. Tada \(\sqrt{2}\) možemo zapisati u obliku \( \frac{p}{q} \) gde su \( p \)  i \( q\) uzajamno prosti  celi brojevi takvi da \(q \neq 0\). Primetimo da kako je \( \frac{p}{q} \) nesvodljiv razlomak \( p \) i \( q \) ne mogu istovremeno biti parni inače razlomak ne bi bio nesvodljiv. Iz jednakosti \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) sledi da je \(2=\frac{p^2}{q^2}\) odnosno \( p^2=2q^2\) . Dakle \(p^2\) je paran broj odakle sledi da je \(p\) takođe paran broj pa možemo broj \(p\) zapisati u obliku \(p=2k\) gde je \(k\) celi broj.  Dakle, imamo da je \( (2k)^2=2q^2\) tj. \( 4k^2=2q^2\), odnosno \( q^2=2k^2\). Iz poslednje jednakosti zaključujemo da je \(q^2\) paran broj, pa je samim tim i \( q\) paran broj. Pokazali smo da su \(