Dokaz da je koren iz 2 iracionalan broj
- Преузми линк
- X
- Имејл адреса
- Друге апликације
Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati da je \(\sqrt{2}\) iracionalan broj. Kao dokazni metod koristićemo metod kontradikcije. Ovaj dokaz je prvi izveo grčki filozof Aristotel.
Teorema: \(\sqrt{2}\) je iracionalan broj.
Dokaz:
Pretpostavimo da je \(\sqrt{2}\) racionalan broj. Tada \(\sqrt{2}\) možemo zapisati u obliku \( \frac{p}{q} \) gde su \( p \) i \( q\) uzajamno prosti celi brojevi takvi da \(q \neq 0\). Primetimo da kako je \( \frac{p}{q} \) nesvodljiv razlomak \( p \) i \( q \) ne mogu istovremeno biti parni inače razlomak ne bi bio nesvodljiv.
Iz jednakosti \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) sledi da je \(2=\frac{p^2}{q^2}\) odnosno \( p^2=2q^2\) . Dakle \(p^2\) je paran broj odakle sledi da je \(p\) takođe paran broj pa možemo broj \(p\) zapisati u obliku \(p=2k\) gde je \(k\) celi broj.
Dakle, imamo da je \( (2k)^2=2q^2\) tj. \( 4k^2=2q^2\), odnosno \( q^2=2k^2\). Iz poslednje jednakosti zaključujemo da je \(q^2\) paran broj, pa je samim tim i \( q\) paran broj.
Pokazali smo da su \(p\) i \(q\) parni brojevi što je u kontradikciji sa pretpostavkom da je \( \frac{p}{q} \) nesvodljiv razlomak. Dakle, polazna pretpostavka da je \(\sqrt{2}\) racionalan broj nije tačna, što znači da je \(\sqrt{2}\) iracionalan broj.
\(\blacksquare\)
- Преузми линк
- X
- Имејл адреса
- Друге апликације
Коментари
Постави коментар