Dokaz da je koren iz 2 iracionalan broj

Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati da je $\sqrt{2}$ iracionalan broj. Kao dokazni metod koristićemo metod kontradikcije. Ovaj dokaz je prvi izveo grčki filozof Aristotel.

Teorema: $\sqrt{2}$ je iracionalan broj.

Dokaz:

Pretpostavimo da je $\sqrt{2}$ racionalan broj. Tada $\sqrt{2}$ možemo zapisati u obliku $\frac{p}{q}$ gde su $p$  i $q$ uzajamno prosti  celi brojevi takvi da $q \neq 0$. Primetimo da kako je $\frac{p}{q}$ nesvodljiv razlomak $p$ i $q$ ne mogu istovremeno biti parni inače razlomak ne bi bio nesvodljiv.

Iz jednakosti $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ sledi da je $2=\frac{p^2}{q^2}$ odnosno $p^2=2q^2$ . Dakle $p^2$ je paran broj odakle sledi da je $p$ takođe paran broj pa možemo broj $p$ zapisati u obliku $p=2k$ gde je $k$ celi broj. 

Dakle, imamo da je $(2k)^2=2q^2$ tj. $4k^2=2q^2$, odnosno $q^2=2k^2$. Iz poslednje jednakosti zaključujemo da je $q^2$ paran broj, pa je samim tim i $q$ paran broj.

Pokazali smo da su $p$ i $q$ parni brojevi što je u kontradikciji sa pretpostavkom da je $\frac{p}{q}$ nesvodljiv razlomak. Dakle, polazna pretpostavka da je $\sqrt{2}$ racionalan broj nije tačna, što znači da je $\sqrt{2}$ iracionalan broj.

$\blacksquare$