Dokaz da je centralni ugao kruga jednak dvostrukom odgovarajućem periferijskom uglu

 Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati da je centralni ugao kruga jednak dvostrukom odgovarajućem periferijskom uglu kruga. Kao dokazni metod koristićemo metod direktnog dokaza.

Teorema: Centralni ugao kruga jednak je dvostrukom odgovarajućem periferijskom uglu kruga.

Dokaz:

Tvrdnju možemo da preformulišemo na sledeći način:

Neka su $P,Q,R$ tri proizvoljne tačke na kružnici $k(O,r)$. Tada je $\angle QOP=2\angle QRP$ .

Dokaz ćemo izvesti dokazujući tri odvojena moguća slučaja:

Prvi slučaj: Centar kruga se nalazi na kraku periferijskog ugla.

Za ovaj slučaj važe sledeće jednakosti:$$\angle POR+ \angle ORP+ \angle RPO=180^{\circ}$$$$\angle QOP=180^{\circ}-\angle POR$$$$\angle ORP=\angle QRP$$Kombinujući prvu i drugu jednakost dobijamo:$$\angle QOP=\angle ORP+\angle RPO$$Kako je trougao $\triangle POR$ jednakokrak imamo da je $\angle RPO=\angle ORP$ , dakle:$$\angle QOP=\angle ORP+\angle ORP$$$$\angle QOP=2\angle ORP$$Odnosno, kako je $\angle ORP=\angle QRP$ dobijamo:$$\angle QOP=2\angle QRP$$

Drugi slučaj: Centar kruga se nalazi u unutrašnjoj oblasti periferijskog ugla.

Posmatrajmo sledeći dijagram:

Kako se tačke $S,O,R$ nalaze na istoj duži tada na osnovu rezultata iz prvog slučaja zaključujemo da je $\angle SOP=2\angle SRP$ i $\angle QOS=2\angle QRS$ . Kako je $\angle QOP=\angle SOP+\angle QOS$ imamo da je:$$\angle QOP=2\angle SRP+2\angle QRS$$$$\angle QOP=2(\angle SRP+\angle QRS)$$$$\angle QOP=2\angle QRP$$

Treći slučaj: Centar kruga se nalazi izvan unutrašnje oblasti periferijskog ugla.

Posmatrajmo sledeći dijagram:

Kako se tačke $S,O,R$ nalaze na istoj duži tada na osnovu rezultata iz prvog slučaja zaključujemo da je $\angle POS=2\angle PRS$ i $\angle QOS=2 \angle QRS$ . Kako je $\angle QOP=\angle QOS-\angle POS$ imamo da je:$$\angle QOP=2\angle QRS-2\angle PRS$$$$\angle QOP=2(\angle QRS-\angle PRS)$$$$\angle QOP=2\angle QRP$$

$\blacksquare$