Dokaz formule za π23\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}

 Pozdrav svima . Danas ćemo dokazati formulu za   π23\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}. Kao dokazni metod koristićemo metod direktnog dokaza. Teorema 1:  π23=n=1χ(n)n\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n}gde jeχ(n)={1,if n1(mod6)1,if n1(mod6)0,inacˇe\text{gde je} \quad \chi(n)=\begin{cases} 1, & \text{if } n \equiv 1 \pmod{6}\\-1, & \text{if } n \equiv -1 \pmod{6}\\0, & \text{inače}\end{cases} Teorema 2: Imamo π23=5711131719232966121218182430\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\frac{5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdots}{6 \cdot 6 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 18 \cdot 18 \cdot 24 \cdot 30 \cdots}izraz čiji su brojioci sekvenca neparnih prostih brojeva većih od 33 i čiji su imenioci parni brojevi koji su za jedan veći ili manji od odgovarajućih brojilaca. Dokaz: Na osnovu Teoreme 1 znamo da je π23=115+17111+113117+119\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=1-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{17}+\frac{1}{19}-\cdots takođe imamo \[\frac{1}{5} \cdot \frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{5}-\frac{1}{25}+\frac{1}{35}-\fra...

Dokaz formule za površinu kruga

Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati formulu za površinu kruga. Kao dokazni metod koristićemo metod direktnog dokaza.

Teorema: Označimo sa PP površinu kruga a sa rr poluprečnik kruga. Tada važi jednakost: P=r2πP=r^2\pi

Dokaz:

Jednačina kruga u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu glasi x2+y2=r2x^2+y^2=r^2. Odavde imamo da je y=±r2x2y=\pm \sqrt{r^2-x^2} . Na osnovu geometrijske interpretacije određenog integrala sledi: P=rr(r2x2(r2x2))dxP=\int\limits_{-r}^r \left(\sqrt{r^2-x^2}-\left(-\sqrt{r^2-x^2}\right)\right) \, dx

Dakle,P=rr2r2x2dxP=\int\limits_{-r}^r 2\sqrt{r^2-x^2} \, dxP=rr2r2(1x2r2)dxP=\int\limits_{-r}^r 2\sqrt{r^2\left(1-\frac{x^2}{r^2}\right)} \, dxP=rr2r1x2r2dxP=\int\limits_{-r}^r 2r\sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}} \, dx

Uvedimo sad smenu x=rcosθx=r \cos \theta . Odavde imamo da je dx=rsinθdθdx=-r\sin\theta d\theta . Tako da možemo pisati sledeću jednakost: P=π02r21r2cos2θr2sinθdθP=-\int\limits_{\pi}^0 2r^2\sqrt{1-\frac{r^2\cos^2\theta}{r^2}}\sin\theta \, d\theta

Nakon uprošćavanja dobijamo: P=π02r21cos2θsinθdθP=-\int\limits_{\pi}^0 2r^2\sqrt{1-\cos^2\theta}\sin\theta \, d\thetaP=π02r2sin2θdθP=-\int\limits_{\pi}^0 2r^2\sin^2\theta \, d\thetaP=r2π02sin2θdθP=-r^2\int\limits_{\pi}^0 2\sin^2\theta \, d\thetaP=r2π0(1cos2θ)dθP=-r^2\int\limits_{\pi}^0 (1-\cos2\theta) \, d\thetaP=r2(π0dθπ0cos2θdθ)P=-r^2\left(\int\limits_{\pi}^0 d\theta-\int\limits_{\pi}^0 \cos2\theta \, d\theta\right)Kako je π0cos2θdθ=0\int\limits_{\pi}^0 \cos2\theta \, d\theta=0 imamo da je: P=r2π0dθP=-r^2\int\limits_{\pi}^0 d\thetaP=r2(0π)P=-r^2(0-\pi)P=r2πP=r^2\pi

\blacksquare

Коментари

Популарни постови са овог блога

Dokaz da je koren iz prostog broja iracionalan broj

Dokaz da je centralni ugao kruga jednak dvostrukom odgovarajućem periferijskom uglu

Dokaz formule za π23\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}