Dokaz da je koren iz prostog broja iracionalan broj
- Преузми линк
- Имејл адреса
- Друге апликације
Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati da je kvadratni koren iz prostog broja iracionalan broj. Kao dokazni metod koristićemo metod kontradikcije.
Teorema: Ako je \(p\) prost broj, tada je \(\sqrt{p}\) iracionalan broj.
Dokaz:
Pretpostavimo suprotno, tj. da je \(\sqrt{p}\) racionalan broj. Tada \(\sqrt{p}\) možemo zapisati u obliku razlomka \(\frac{a}{b}\), gde su \(a\) i \(b\) dva uzajamno prosta cela broja i \(b \neq 0\). Kvadriranjem jednakosti \(\sqrt{p}=\frac{a}{b}\) dobijamo jednakost \(p=\frac{a^2}{b^2}\), odnosno \(a^2=pb^2\).
Zapišimo sad brojeve \(a\) i \(b\) u obliku proizvoda stepenova njihovih prostih faktora.\[a=p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2} \cdot p_3^{n_3} \cdot \ldots \cdot p_j^{n_j}\]\[b=q_1^{m_1}\cdot q_2^{m_2} \cdot q_3^{m_3} \cdot \ldots \cdot q_k^{m_k}\]Kvadriranjem ove dve jednakosti dobijamo:\[a^2=p_1^{2n_1}\cdot p_2^{2n_2} \cdot p_3^{2n_3} \cdot \ldots \cdot p_j^{2n_j}\]\[b^2=q_1^{2m_1}\cdot q_2^{2m_2} \cdot q_3^{2m_3} \cdot \ldots \cdot q_k^{2m_k}\]Kako je \(a^2=pb^2\) zaključujemo da desna strana jednakosti, tj. \(pb^2\) mora da se sastoji od proizvoda stepenova jedinstvenih prostih faktora sa parnim eksponentima.
Posmatrajmo sad sledeća dva moguća slučaja:
Prvi slučaj: Neka se broj \(p\) nalazi u faktorizaciji broja \(b^2\) . To znači da imamo \(p \cdot p_i^{2n_i}=p^{2n_i+1}\) za neko \(i\) , \(1\le i \le j\). Kako je \(2n_i+1\) neparan broj ovo je u kontradikciji sa prethodnim zaključkom da se \(pb^2\) mora sastojati od proizvoda stepenova jedinstvenih prostih faktora sa parnim eksponentima.
Drugi slučaj: Neka se broj \(p\) ne nalazi u faktorizaciji broja \(b^2\) . Kako je \(p=p^1\) i kako je \(1 \) neparan broj ponovo imamo kontradikciju sa zaključkom da se \(pb^2\) mora sastojati od proizvoda stepenova jedinstvenih prostih faktora sa parnim eksponentima.
Kako smo u oba slučaja došli do kontradikcije zaključujemo da polazna pretpostavka da je \(\sqrt{p}\) racionalan broj nije tačna, tj. \(\sqrt{p}\) mora biti iracionalan broj.
\(\blacksquare\)
- Преузми линк
- Имејл адреса
- Друге апликације
Коментари
Постави коментар