Dokaz formule za \(\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}\)

 Pozdrav svima . Danas ćemo dokazati formulu za   \(\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}\). Kao dokazni metod koristićemo metod direktnog dokaza. Teorema 1:  \[\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n}\]\[\text{gde je} \quad \chi(n)=\begin{cases} 1, & \text{if } n \equiv 1 \pmod{6}\\-1, & \text{if } n \equiv -1 \pmod{6}\\0, & \text{inače}\end{cases}\] Teorema 2: Imamo \[\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\frac{5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdots}{6 \cdot 6 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 18 \cdot 18 \cdot 24 \cdot 30 \cdots}\]izraz čiji su brojioci sekvenca neparnih prostih brojeva većih od \(3\) i čiji su imenioci parni brojevi koji su za jedan veći ili manji od odgovarajućih brojilaca. Dokaz: Na osnovu Teoreme 1 znamo da je \[\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=1-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{17}+\frac{1}{19}-\cdots\] takođe imamo \[\frac{1}{5} \cdot \frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{5}-\frac{1}{25}+\frac{1}{35}-\fra...

Dokaz da je koren iz prostog broja iracionalan broj

Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati da je kvadratni koren iz prostog broja iracionalan broj. Kao dokazni metod koristićemo metod kontradikcije.

Teorema: Ako je \(p\) prost broj, tada je \(\sqrt{p}\) iracionalan broj.

Dokaz: 

Pretpostavimo suprotno, tj. da je \(\sqrt{p}\) racionalan broj. Tada \(\sqrt{p}\) možemo zapisati u obliku razlomka \(\frac{a}{b}\), gde su \(a\) i \(b\) dva uzajamno prosta cela broja i \(b \neq 0\). Kvadriranjem jednakosti \(\sqrt{p}=\frac{a}{b}\) dobijamo jednakost \(p=\frac{a^2}{b^2}\), odnosno \(a^2=pb^2\).

Zapišimo sad brojeve \(a\) i \(b\) u obliku proizvoda stepenova njihovih prostih faktora.\[a=p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2} \cdot p_3^{n_3} \cdot \ldots \cdot p_j^{n_j}\]\[b=q_1^{m_1}\cdot q_2^{m_2} \cdot q_3^{m_3} \cdot \ldots \cdot q_k^{m_k}\]Kvadriranjem ove dve jednakosti dobijamo:\[a^2=p_1^{2n_1}\cdot p_2^{2n_2} \cdot p_3^{2n_3} \cdot \ldots \cdot p_j^{2n_j}\]\[b^2=q_1^{2m_1}\cdot q_2^{2m_2} \cdot q_3^{2m_3} \cdot \ldots \cdot q_k^{2m_k}\]Kako je \(a^2=pb^2\) zaključujemo da desna strana jednakosti, tj. \(pb^2\) mora da se sastoji od proizvoda stepenova jedinstvenih prostih faktora sa parnim eksponentima.

Posmatrajmo sad sledeća dva moguća slučaja:

Prvi slučaj: Neka se broj \(p\) nalazi u faktorizaciji broja \(b^2\) . To znači da imamo \(p \cdot p_i^{2n_i}=p^{2n_i+1}\) za neko \(i\) , \(1\le i \le j\). Kako je \(2n_i+1\) neparan broj ovo je u kontradikciji sa prethodnim zaključkom da se \(pb^2\) mora sastojati od proizvoda stepenova jedinstvenih prostih faktora sa parnim eksponentima.

Drugi slučaj: Neka se broj \(p\)  ne nalazi u faktorizaciji broja \(b^2\) . Kako je \(p=p^1\) i kako je \(1 \) neparan broj ponovo imamo kontradikciju sa zaključkom da se \(pb^2\) mora sastojati od proizvoda stepenova jedinstvenih prostih faktora sa parnim eksponentima.

Kako smo u oba slučaja došli do kontradikcije zaključujemo da  polazna pretpostavka da je \(\sqrt{p}\) racionalan broj nije tačna, tj. \(\sqrt{p}\) mora biti iracionalan broj.

\(\blacksquare\)

Коментари

Популарни постови са овог блога

Dokaz da je centralni ugao kruga jednak dvostrukom odgovarajućem periferijskom uglu

Dokaz formule za \(\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}\)