Dokaz da je koren iz prostog broja iracionalan broj

Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati da je kvadratni koren iz prostog broja iracionalan broj. Kao dokazni metod koristićemo metod kontradikcije.

Teorema: Ako je $p$ prost broj, tada je $\sqrt{p}$ iracionalan broj.

Dokaz: 

Pretpostavimo suprotno, tj. da je $\sqrt{p}$ racionalan broj. Tada $\sqrt{p}$ možemo zapisati u obliku razlomka $\frac{a}{b}$, gde su $a$ i $b$ dva uzajamno prosta cela broja i $b \neq 0$. Kvadriranjem jednakosti $\sqrt{p}=\frac{a}{b}$ dobijamo jednakost $p=\frac{a^2}{b^2}$, odnosno $a^2=pb^2$.

Zapišimo sad brojeve $a$ i $b$ u obliku proizvoda stepenova njihovih prostih faktora.$$a=p_1^{n_1}\cdot p_2^{n_2} \cdot p_3^{n_3} \cdot \ldots \cdot p_j^{n_j}$$$$b=q_1^{m_1}\cdot q_2^{m_2} \cdot q_3^{m_3} \cdot \ldots \cdot q_k^{m_k}$$Kvadriranjem ove dve jednakosti dobijamo:$$a^2=p_1^{2n_1}\cdot p_2^{2n_2} \cdot p_3^{2n_3} \cdot \ldots \cdot p_j^{2n_j}$$$$b^2=q_1^{2m_1}\cdot q_2^{2m_2} \cdot q_3^{2m_3} \cdot \ldots \cdot q_k^{2m_k}$$Kako je $a^2=pb^2$ zaključujemo da desna strana jednakosti, tj. $pb^2$ mora da se sastoji od proizvoda stepenova jedinstvenih prostih faktora sa parnim eksponentima.

Posmatrajmo sad sledeća dva moguća slučaja:

Prvi slučaj: Neka se broj $p$ nalazi u faktorizaciji broja $b^2$ . To znači da imamo $p \cdot p_i^{2n_i}=p^{2n_i+1}$ za neko $i$ , $1\le i \le j$. Kako je $2n_i+1$ neparan broj ovo je u kontradikciji sa prethodnim zaključkom da se $pb^2$ mora sastojati od proizvoda stepenova jedinstvenih prostih faktora sa parnim eksponentima.

Drugi slučaj: Neka se broj $p$  ne nalazi u faktorizaciji broja $b^2$ . Kako je $p=p^1$ i kako je $1$ neparan broj ponovo imamo kontradikciju sa zaključkom da se $pb^2$ mora sastojati od proizvoda stepenova jedinstvenih prostih faktora sa parnim eksponentima.

Kako smo u oba slučaja došli do kontradikcije zaključujemo da  polazna pretpostavka da je $\sqrt{p}$ racionalan broj nije tačna, tj. $\sqrt{p}$ mora biti iracionalan broj.

$\blacksquare$