Dokaz formule za \(\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}\)

 Pozdrav svima . Danas ćemo dokazati formulu za   \(\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}\). Kao dokazni metod koristićemo metod direktnog dokaza. Teorema 1:  \[\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n}\]\[\text{gde je} \quad \chi(n)=\begin{cases} 1, & \text{if } n \equiv 1 \pmod{6}\\-1, & \text{if } n \equiv -1 \pmod{6}\\0, & \text{inače}\end{cases}\] Teorema 2: Imamo \[\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\frac{5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdots}{6 \cdot 6 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 18 \cdot 18 \cdot 24 \cdot 30 \cdots}\]izraz čiji su brojioci sekvenca neparnih prostih brojeva većih od \(3\) i čiji su imenioci parni brojevi koji su za jedan veći ili manji od odgovarajućih brojilaca. Dokaz: Na osnovu Teoreme 1 znamo da je \[\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=1-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{17}+\frac{1}{19}-\cdots\] takođe imamo \[\frac{1}{5} \cdot \frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{5}-\frac{1}{25}+\frac{1}{35}-\frac{1}{55}+\cdot

Algebarski dokaz Pitagorine teoreme

 Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati Pitagorinu teoremu koristeći elementarnu algebru.Ovaj dokaz je izveden u Kini pre više od 2000 godina.

Teorema: Neka su \(a\) i \(b\) katete, a \(c\) hipotenuza pravouglog trougla. Tada važi jednakost \(c^2=a^2+b^2\) .

Dokaz:

Posmatrajmo sledeći dijagram koji se sastoji od velikog kvadrata sa stranicama dužine \(a+b\) i malog kvadrata sa  stranicama  dužine \(c\) i uočimo četiri pravougla trougla sa katetama \(a,b\) i hipotenuzom \(c\).

Označimo površinu velikog kvadrata sa \(P\). Tada je

\[P=(a+b)(a+b)\]

Neka je \(P_1\) površina jednog od četiri pravougla trougla , a \(P_2\) površina malog kvadrata sa  stranicama  dužine \(c\). Tada imamo da je:

\[P_1=\frac{ab}{2}\]\[P_2=c^2\]

Kako je \(P=4P_1+P_2\) možemo zapisati sledeću jednakost:

\[(a+b)(a+b)=4 \cdot \frac{ab}{2}+c^2\]

Odavde imamo da je:

\[a^2+2ab+b^2=2ab+c^2\]

Odnosno, kad oduzmemo \(2ab\) sa obe strane jednakosti dobijamo:

\[c^2=a^2+b^2\]

\(\blacksquare\)

Коментари

Популарни постови са овог блога

Dokaz da je koren iz prostog broja iracionalan broj

Dokaz da je koren iz 2 iracionalan broj

Dokaz da je skup prostih brojeva beskonačan