Dokaz formule za π23\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}

 Pozdrav svima . Danas ćemo dokazati formulu za   π23\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}. Kao dokazni metod koristićemo metod direktnog dokaza. Teorema 1:  π23=n=1χ(n)n\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n}gde jeχ(n)={1,if n1(mod6)1,if n1(mod6)0,inacˇe\text{gde je} \quad \chi(n)=\begin{cases} 1, & \text{if } n \equiv 1 \pmod{6}\\-1, & \text{if } n \equiv -1 \pmod{6}\\0, & \text{inače}\end{cases} Teorema 2: Imamo π23=5711131719232966121218182430\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\frac{5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdots}{6 \cdot 6 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 18 \cdot 18 \cdot 24 \cdot 30 \cdots}izraz čiji su brojioci sekvenca neparnih prostih brojeva većih od 33 i čiji su imenioci parni brojevi koji su za jedan veći ili manji od odgovarajućih brojilaca. Dokaz: Na osnovu Teoreme 1 znamo da je π23=115+17111+113117+119\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=1-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{17}+\frac{1}{19}-\cdots takođe imamo \[\frac{1}{5} \cdot \frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{5}-\frac{1}{25}+\frac{1}{35}-\fra...

Algebarski dokaz Pitagorine teoreme

 Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati Pitagorinu teoremu koristeći elementarnu algebru.Ovaj dokaz je izveden u Kini pre više od 2000 godina.

Teorema: Neka su aa i bb katete, a cc hipotenuza pravouglog trougla. Tada važi jednakost c2=a2+b2c^2=a^2+b^2 .

Dokaz:

Posmatrajmo sledeći dijagram koji se sastoji od velikog kvadrata sa stranicama dužine a+ba+b i malog kvadrata sa  stranicama  dužine cc i uočimo četiri pravougla trougla sa katetama a,ba,b i hipotenuzom cc.

Označimo površinu velikog kvadrata sa PP. Tada je

P=(a+b)(a+b)P=(a+b)(a+b)

Neka je P1P_1 površina jednog od četiri pravougla trougla , a P2P_2 površina malog kvadrata sa  stranicama  dužine cc. Tada imamo da je:

P1=ab2P_1=\frac{ab}{2}P2=c2P_2=c^2

Kako je P=4P1+P2P=4P_1+P_2 možemo zapisati sledeću jednakost:

(a+b)(a+b)=4ab2+c2(a+b)(a+b)=4 \cdot \frac{ab}{2}+c^2

Odavde imamo da je:

a2+2ab+b2=2ab+c2a^2+2ab+b^2=2ab+c^2

Odnosno, kad oduzmemo 2ab2ab sa obe strane jednakosti dobijamo:

c2=a2+b2c^2=a^2+b^2

\blacksquare

Коментари

Популарни постови са овог блога

Dokaz formule za π23\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}

Dokaz da je koren iz prostog broja iracionalan broj

Dokaz formule za sumu prvih n Fibonačijevih brojeva