Matemarijum

 Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati Pitagorinu teoremu koristeći elementarnu algebru.Ovaj dokaz je izveden u Kini pre više od 2000 godina. Teorema: Neka su  $a$ i $b$  katete, a $c$  hipotenuza pravouglog trougla. Tada važi jednakost $c^2=a^2+b^2$ . Dokaz: Posmatrajmo sledeći dijagram koji se sastoji od velikog kvadrata sa stranicama dužine $a+b$ i malog kvadrata sa  stranicama  dužine $c$ i uočimo četiri pravougla trougla sa katetama $a,b$ i hipotenuzom $c$. Označimo površinu velikog kvadrata sa $P$. Tada je $$P=(a+b)(a+b)$$ Neka je $P_1$ površina jednog od četiri pravougla trougla , a $P_2$ površina malog kvadrata sa  stranicama  dužine $c$. Tada imamo da je: $$P_1=\frac{ab}{2}$$$$P_2=c^2$$ Kako je $P=4P_1+P_2$ možemo zapisati sledeću jednakost: $$(a+b)(a+b)=4 \cdot \frac{ab}{2}+c^2$$ Odavde imamo da je: $$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$$ Odnosno, kad oduzmemo $2ab$ sa obe strane jednakosti dobijamo: $$c^2=a^2+b^2$$ \(\blacksq...

Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati da je $\sqrt{2}$ iracionalan broj. Kao dokazni metod koristićemo metod kontradikcije. Ovaj dokaz je prvi izveo grčki filozof Aristotel. Teorema:  $\sqrt{2}$  je iracionalan broj. Dokaz: Pretpostavimo da je $\sqrt{2}$ racionalan broj. Tada $\sqrt{2}$ možemo zapisati u obliku $\frac{p}{q}$ gde su $p$  i $q$ uzajamno prosti  celi brojevi takvi da $q \neq 0$. Primetimo da kako je $\frac{p}{q}$ nesvodljiv razlomak $p$ i $q$ ne mogu istovremeno biti parni inače razlomak ne bi bio nesvodljiv. Iz jednakosti $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ sledi da je $2=\frac{p^2}{q^2}$ odnosno $p^2=2q^2$ . Dakle $p^2$ je paran broj odakle sledi da je $p$ takođe paran broj pa možemo broj $p$ zapisati u obliku $p=2k$ gde je $k$ celi broj.  Dakle, imamo da je $(2k)^2=2q^2$ tj. $4k^2=2q^2$, odnosno $q^2=2k^2$. Iz poslednje jednakosti zaključujemo da je $q^2$ paran broj, pa je samim tim i $q$ paran bro...