Dokaz Arhimedove teoreme

 Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati Arhimedovu teoremu. Kao dokazni metod koristićemo metod kontradikcije.

Teorema: Za svaka dva realna broja $a$  i $b$ gde je $a>0$   postoji prirodan broj $n$ takav da je $a \cdot n>b$ .

Dokaz:

Sobzirom da je $a>0$ nejednakost $a \cdot n>b$ možemo podeliti  brojem $a$ tako da dobijamo novu nejednakost $n>\frac{b}{a}$ . Označimo realan broj $\frac{b}{a}$ sa $x$, tada teoremu koju treba da dokažemo možemo preformulisati na sledeći način:

Za bilo koji realan broj $x$ postoji prirodan broj $n$ takav da je $n>x$ .

Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji realan broj $x$ takav da je $x \ge n$ za bilo koji prirodan broj $n$ . To bi značilo da je skup prirodnih brojeva $\mathbb{N}$ ograničen odozgo. Označimo to najmanje gornje ograničenje sa $\operatorname{sup}(\mathbb{N})=S$. Sada posmatrajmo razliku $S-1$ . Jasno je da $S-1$ nije gornje ograničenje skupa $\mathbb{N}$, jer kad bi bilo onda $S$ koje je veće od $S-1$ ne bi bilo najmanje gornje ograničenje. Ovo znači da postoji neki prirodan broj $m$ takav da je $m>S-1$, odnosno imamo da je $m+1>S$ . Kako je operacija sabiranja zatvorena na skupu prirodnih brojeva imamo da $m+1 \in \mathbb{N}$ , tj. broj $m+1$ je prirodan broj veći od $\operatorname{sup}(\mathbb{N})$. Ovo je u kontradikciji sa polaznom pretpostavkom što znači da za bilo koji realan broj $x$ postoji prirodan broj $n$ takav da je $n>x$ .

$\blacksquare$