Dokaz Arhimedove teoreme
- Преузми линк
- X
- Имејл адреса
- Друге апликације
Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati Arhimedovu teoremu. Kao dokazni metod koristićemo metod kontradikcije.
Teorema: Za svaka dva realna broja \(a\) i \(b\) gde je \(a>0\) postoji prirodan broj \(n\) takav da je \(a \cdot n>b\) .
Dokaz:
Sobzirom da je \(a>0\) nejednakost \(a \cdot n>b\) možemo podeliti brojem \(a\) tako da dobijamo novu nejednakost \( n>\frac{b}{a}\) . Označimo realan broj \(\frac{b}{a}\) sa \( x\), tada teoremu koju treba da dokažemo možemo preformulisati na sledeći način:
Za bilo koji realan broj \( x\) postoji prirodan broj \( n\) takav da je \( n>x\) .
Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji realan broj \( x\) takav da je \( x \ge n\) za bilo koji prirodan broj \( n\) . To bi značilo da je skup prirodnih brojeva \(\mathbb{N} \) ograničen odozgo. Označimo to najmanje gornje ograničenje sa \(\operatorname{sup}(\mathbb{N})=S\). Sada posmatrajmo razliku \(S-1\) . Jasno je da \(S-1\) nije gornje ograničenje skupa \(\mathbb{N} \), jer kad bi bilo onda \(S\) koje je veće od \(S-1\) ne bi bilo najmanje gornje ograničenje. Ovo znači da postoji neki prirodan broj \(m\) takav da je \(m>S-1\), odnosno imamo da je \(m+1>S\) . Kako je operacija sabiranja zatvorena na skupu prirodnih brojeva imamo da \(m+1 \in \mathbb{N} \) , tj. broj \(m+1\) je prirodan broj veći od \(\operatorname{sup}(\mathbb{N})\). Ovo je u kontradikciji sa polaznom pretpostavkom što znači da za bilo koji realan broj \( x\) postoji prirodan broj \( n\) takav da je \( n>x\) .
\(\blacksquare\)
- Преузми линк
- X
- Имејл адреса
- Друге апликације
Коментари
Постави коментар