Dokaz formule za \(\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}\)

 Pozdrav svima . Danas ćemo dokazati formulu za   \(\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}\). Kao dokazni metod koristićemo metod direktnog dokaza. Teorema 1:  \[\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n}\]\[\text{gde je} \quad \chi(n)=\begin{cases} 1, & \text{if } n \equiv 1 \pmod{6}\\-1, & \text{if } n \equiv -1 \pmod{6}\\0, & \text{inače}\end{cases}\] Teorema 2: Imamo \[\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\frac{5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdots}{6 \cdot 6 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 18 \cdot 18 \cdot 24 \cdot 30 \cdots}\]izraz čiji su brojioci sekvenca neparnih prostih brojeva većih od \(3\) i čiji su imenioci parni brojevi koji su za jedan veći ili manji od odgovarajućih brojilaca. Dokaz: Na osnovu Teoreme 1 znamo da je \[\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=1-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{17}+\frac{1}{19}-\cdots\] takođe imamo \[\frac{1}{5} \cdot \frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{5}-\frac{1}{25}+\frac{1}{35}-\frac{1}{55}+\cdot

Dokaz da je ceo broj neparan ukoliko je njegov kvadrat neparan

Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati da je ceo broj neparan ukoliko je njegov kvadrat neparan. Za izvođenje dokaza koristićemo kontrapoziciju.

Teorema: Neka je \(n\) ceo broj. Ako je \(n^2\) neparan broj, tada je \(n\) takođe neparan broj.

Dokaz:

Kontrapozicija ovog tvrđenja glasi:

Neka je \(n\) ceo broj. Ako je \(n\) paran broj, tada je \(n^2\)  takođe paran broj.

Dokažimo sad ovu kontrapoziciju. Kako je \(n\) paran broj možemo ga zapisati u obliku \(n=2k\) gde je \(k\) neki celi broj. Kvadriranjem ove jednakosti dobijamo:\[n^2=(2k)^2\]\[n^2=4k^2\]\[n^2=2\left(2k^2\right)\]

Kako je \(k\) ceo broj tada i \(2k^2\) mora biti ceo broj zbog zatvorenosti operacija množenja i stepenovanja na skupu celih brojeva. Označimo \(2k^2\) sa \(r\), tada imamo da je \(n^2=2r\) , odakle zaključujemo da je \(n^2\) paran broj. Kako smo dokazali da je kontrapozicija polaznog tvrđenja tačna, to znači i da samo polazno tvrđenje mora biti tačno.

\(\blacksquare\)

Коментари

Популарни постови са овог блога

Dokaz da je koren iz prostog broja iracionalan broj

Dokaz da je koren iz 2 iracionalan broj

Dokaz formule za \(\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}\)