Dokaz formule za \(\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}\)

 Pozdrav svima . Danas ćemo dokazati formulu za   \(\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}\). Kao dokazni metod koristićemo metod direktnog dokaza. Teorema 1:  \[\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n}\]\[\text{gde je} \quad \chi(n)=\begin{cases} 1, & \text{if } n \equiv 1 \pmod{6}\\-1, & \text{if } n \equiv -1 \pmod{6}\\0, & \text{inače}\end{cases}\] Teorema 2: Imamo \[\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\frac{5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdots}{6 \cdot 6 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 18 \cdot 18 \cdot 24 \cdot 30 \cdots}\]izraz čiji su brojioci sekvenca neparnih prostih brojeva većih od \(3\) i čiji su imenioci parni brojevi koji su za jedan veći ili manji od odgovarajućih brojilaca. Dokaz: Na osnovu Teoreme 1 znamo da je \[\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=1-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{17}+\frac{1}{19}-\cdots\] takođe imamo \[\frac{1}{5} \cdot \frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{5}-\frac{1}{25}+\frac{1}{35}-\frac{1}{55}+\cdot

Dokaz da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva

 Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva.  Ovaj dokaz je prvi izveo grčki matematičar Euklid.

Teorema: Postoji beskonačno mnogo prostih brojeva.

Dokaz:

Pretpostavimo da postoji konačan broj prostih brojeva. Označimo broj prostih brojeva sa \(n\), a same proste brojeve sa \(p\) i indeksima \(1,2 \ldots, n-1,n\) . Dakle imamo konačan skup prostih brojeva \(p_1,p_2,\ldots ,p_{n-1},p_n\).

Sada, konstruišimo broj \(q\) na sledeći način:

\[q=p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{n-1}\cdot p_n+1\]

Tada \(q\) može biti ili prost ili složen broj. Jasno je da \(q\) ne može biti prost broj jer smo pretpostavili da je broj prostih brojeva konačan i da je najveći prost broj broj \(p_n\). Dakle, \(q\) mora biti složen broj. Ukoliko je \(q\) složen broj onda postoji neki prost broj \(p\) iz skupa \(p_1,p_2,\ldots ,p_{n-1},p_n\) koji ga deli. Označimo sa \(P\) proizvod \(p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{n-1}\cdot p_n\). Tada \(p\) istovremeno deli i \(P\) i \(P+1=q\) što znači da \(p\) mora da deli i razliku \((P+1)-P\), tj. sledi da \(p\) deli broj \(1\). Ali kako nijedan prost broj ne deli broj \(1\) zaključujemo da \(p\) ne može biti u skupu \(p_1,p_2,\ldots ,p_{n-1},p_n\). Ovo znači da nezavisno od toga koliki je broj \(n\) uvek postoji barem još jedan prost broj van konačnog skupa, stoga postoji beskonačno mnogo prostih brojeva.

\(\blacksquare\)

Коментари

Популарни постови са овог блога

Dokaz da je koren iz prostog broja iracionalan broj

Dokaz da je koren iz 2 iracionalan broj

Dokaz da je \(I_0(\sqrt{2})\) iracionalan broj