Dokaz da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva
- Преузми линк
- X
- Имејл адреса
- Друге апликације
Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati da postoji beskonačno mnogo prostih brojeva. Ovaj dokaz je prvi izveo grčki matematičar Euklid.
Teorema: Postoji beskonačno mnogo prostih brojeva.
Dokaz:
Pretpostavimo da postoji konačan broj prostih brojeva. Označimo broj prostih brojeva sa \(n\), a same proste brojeve sa \(p\) i indeksima \(1,2 \ldots, n-1,n\) . Dakle imamo konačan skup prostih brojeva \(p_1,p_2,\ldots ,p_{n-1},p_n\).
Sada, konstruišimo broj \(q\) na sledeći način:
\[q=p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{n-1}\cdot p_n+1\]
Tada \(q\) može biti ili prost ili složen broj. Jasno je da \(q\) ne može biti prost broj jer smo pretpostavili da je broj prostih brojeva konačan i da je najveći prost broj broj \(p_n\). Dakle, \(q\) mora biti složen broj. Ukoliko je \(q\) složen broj onda postoji neki prost broj \(p\) iz skupa \(p_1,p_2,\ldots ,p_{n-1},p_n\) koji ga deli. Označimo sa \(P\) proizvod \(p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{n-1}\cdot p_n\). Tada \(p\) istovremeno deli i \(P\) i \(P+1=q\) što znači da \(p\) mora da deli i razliku \((P+1)-P\), tj. sledi da \(p\) deli broj \(1\). Ali kako nijedan prost broj ne deli broj \(1\) zaključujemo da \(p\) ne može biti u skupu \(p_1,p_2,\ldots ,p_{n-1},p_n\). Ovo znači da nezavisno od toga koliki je broj \(n\) uvek postoji barem još jedan prost broj van konačnog skupa, stoga postoji beskonačno mnogo prostih brojeva.
\(\blacksquare\)
- Преузми линк
- X
- Имејл адреса
- Друге апликације
Коментари
Постави коментар