Dokaz da se prirodan broj može izraziti kao proizvod prostih brojeva

Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati da se svaki prirodan broj veći od \(1\) može izraziti kao proizvod prostog broja i jedinice ili kao proizvod više prostih brojeva. Kao dokazni metod koristićemo metod matematičke indukcije.

Teorema: Neka je \(n\) prirodan broj veći od \(1\). Tada \(n\) može da se izrazi kao proizvod jednog prostog broja i jedinice ili kao proizvod više prostih brojeva. 

Dokaz:

Primetimo da ukoliko je \(n\) prost broj tvrdnja je automatski dokazana jer svaki broj može da se zapiše kao proizvod tog broja i jedinice.

1. Baza indukcije (n=2)

Kako je \(2\) prost broj tvrdnja je automatski dokazana.

2. Induktivna hipoteza (n=m)

Pretpostavimo da važi: 

\(\forall k \in \mathbb{N} , \quad 2 \le k \le m \) , \(k\) se može izraziti kao proizvod jednog prostog broja i jedinice ili kao proizvod više prostih brojeva. 

3. Induktivni korak (n=m+1)

Na osnovu pretpostavke iz drugog koraka dokažimo da važi:

\(\forall k \in \mathbb{N} , \quad 2 \le k \le m+1 \) , \(k\) se može izraziti kao proizvod jednog prostog broja i jedinice ili kao proizvod više prostih brojeva. 

Za sve \(k\)-ove manje od \(m+1\) istinitost tvrdnje automatski sledi iz induktivne hipoteze. Razmotrimo sada slučal kada je \(k=m+1\). Ukoliko je \(m+1\) prost broj tvrdnja je automatski dokazana. U suprotnom \(m+1\) je složen broj i može da se izrazi u obliku \(m+1=pq\) , gde su \(p\) i \(q\) prirodni brojevi takvi da \(2 \le p <m+1\) i \(2 \le q <m+1\) , tj. \(2 \le p \le m\) i \(2 \le q \le m\) . Kako prema induktivnoj hipotezi oba broja \(p\) i \(q\) mogu da se izraze kao proizvodi prostih brojeva ili proizvodi prostog broja i jedinice to isto važi i za broj \(m+1\) .

\(\blacksquare\)

Коментари

Популарни постови са овог блога

Dokaz da je koren iz 2 iracionalan broj

Dokaz da je koren iz prostog broja iracionalan broj

Algebarski dokaz Pitagorine teoreme