Dokaz da su susedni Fibonačijevi brojevi uzajamno prosti
- Преузми линк
- X
- Имејл адреса
- Друге апликације
Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati da su susedni Fibonačijevi brojevi uzajamno prosti. Kao dokazni metod koristićemo metod matematičke indukcije.
Teorema: Neka Fn predstavlja n-ti Fibonačijev broj. Tada važi: ∀n≥2,NZD(Fn,Fn+1)=1
Dokaz:
1. Baza indukcije (n=2)
NZD(F2,F3)=NZD(1,2)=1
2. Induktivna hipoteza (n=m)
Pretpostavimo da važi:
NZD(Fm,Fm+1)=1
3. Induktivni korak (n=m+1)
Koristeći pretpostavku iz drugog koraka dokažimo da važi:
NZD(Fm+1,Fm+2)=1
Kako je najveći zajednički delilac bilo kojih prirodnih brojeva a i b jednak najvećem zajedničkom deliocu bilo koje linearne kombinacije brojeva a i b imamo da je NZD(a,b)=NZD(a,b−a) . Imajući ovo u vidu možemo zapisati sledeću jednakost: NZD(Fm+1,Fm+2)=NZD(Fm+1,Fm+2−Fm+1)
Dalje, kako je po definiciji Fibonačijevog niza Fm+2=Fm+Fm+1 imamo da je: NZD(Fm+1,Fm+2)=NZD(Fm+1,Fm)NZD(Fm+1,Fm+2)=NZD(Fm,Fm+1)=1
■
- Преузми линк
- X
- Имејл адреса
- Друге апликације
Коментари
Постави коментар