Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati formulu za n-ti izvod prirodnog logaritma. Kao dokazni metod koristićemo metod matematičke indukcije.
Teorema: N-ti izvod funkcije ln(x) za n≥1 je dat formulom: dxndnln(x)=xn(n−1)!(−1)n−1
Dokaz:
1. Baza indukcije (n=1)
dxdln(x)=x1(1−1)!(−1)1−1x1=x(0)!(−1)0x1=x1
2. Induktivna hipoteza (n=m)
Pretpostavimo da važi:
dxmdmln(x)=xm(m−1)!(−1)m−1
3. Induktivni korak (n=m+1)
Koristeći pretpostavku iz drugog koraka dokažimo da važi:
dxm+1dm+1ln(x)=xm+1m!(−1)m
Dakle,
dxm+1dm+1ln(x)=dxd(dxmdmln(x))=dxd(xm(m−1)!(−1)m−1)=x2mdxd((m−1)!(−1)m−1)⋅xm−((m−1)!(−1)m−1)⋅dxdxm=x2m−(m−1)!(−1)m−1mxm−1=x2mm(m−1)!(−1)mxm−1=x2m−m+1m!(−1)m=xm+1m!(−1)m
■
Коментари
Постави коментар