Dokaz formule za π23\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}

 Pozdrav svima . Danas ćemo dokazati formulu za   π23\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}. Kao dokazni metod koristićemo metod direktnog dokaza. Teorema 1:  π23=n=1χ(n)n\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n}gde jeχ(n)={1,if n1(mod6)1,if n1(mod6)0,inacˇe\text{gde je} \quad \chi(n)=\begin{cases} 1, & \text{if } n \equiv 1 \pmod{6}\\-1, & \text{if } n \equiv -1 \pmod{6}\\0, & \text{inače}\end{cases} Teorema 2: Imamo π23=5711131719232966121218182430\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\frac{5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdots}{6 \cdot 6 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 18 \cdot 18 \cdot 24 \cdot 30 \cdots}izraz čiji su brojioci sekvenca neparnih prostih brojeva većih od 33 i čiji su imenioci parni brojevi koji su za jedan veći ili manji od odgovarajućih brojilaca. Dokaz: Na osnovu Teoreme 1 znamo da je π23=115+17111+113117+119\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=1-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{17}+\frac{1}{19}-\cdots takođe imamo \[\frac{1}{5} \cdot \frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{5}-\frac{1}{25}+\frac{1}{35}-\fra...

Dokaz formule za n-ti izvod prirodnog logaritma

Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati formulu za n-ti izvod prirodnog logaritma. Kao dokazni metod koristićemo metod matematičke indukcije.

Teorema: N-ti izvod funkcije ln(x)\ln(x) za n1n \ge 1 je dat formulom: dndxnln(x)=(n1)!(1)n1xn\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\ln(x)=\frac{(n-1)!(-1)^{n-1}}{x^n}

Dokaz:

1. Baza indukcije (n=1)

ddxln(x)=(11)!(1)11x1\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln(x)=\frac{(1-1)!(-1)^{1-1}}{x^1}1x=(0)!(1)0x\frac{1}{x}=\frac{(0)!(-1)^{0}}{x}1x=1x\frac{1}{x}=\frac{1}{x}

2. Induktivna hipoteza (n=m)

Pretpostavimo da važi:

dmdxmln(x)=(m1)!(1)m1xm\frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d}x^m}\ln(x)=\frac{(m-1)!(-1)^{m-1}}{x^m}

3. Induktivni korak (n=m+1)

Koristeći pretpostavku iz drugog koraka dokažimo da važi:

dm+1dxm+1ln(x)=m!(1)mxm+1\frac{\mathrm{d}^{m+1}}{\mathrm{d}x^{m+1}}\ln(x)=\frac{m!(-1)^{m}}{x^{m+1}}

Dakle,

dm+1dxm+1ln(x)=ddx(dmdxmln(x))=\frac{\mathrm{d}^{m+1}}{\mathrm{d}x^{m+1}}\ln(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d}x^m}\ln(x)\right)=ddx((m1)!(1)m1xm)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{(m-1)!(-1)^{m-1}}{x^m}\right)=ddx((m1)!(1)m1)xm((m1)!(1)m1)ddxxmx2m=\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left((m-1)!(-1)^{m-1}\right)\cdot x^m-\left((m-1)!(-1)^{m-1}\right)\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^m}{x^{2m}}=(m1)!(1)m1mxm1x2m=\frac{-(m-1)!(-1)^{m-1}mx^{m-1}}{x^{2m}}=m(m1)!(1)mxm1x2m=\frac{m(m-1)!(-1)^mx^{m-1}}{x^{2m}}=m!(1)mx2mm+1=\frac{m!(-1)^m}{x^{2m-m+1}}=m!(1)mxm+1\frac{m!(-1)^m}{x^{m+1}}

\blacksquare

Коментари

Популарни постови са овог блога

Dokaz da je koren iz prostog broja iracionalan broj

Dokaz da je centralni ugao kruga jednak dvostrukom odgovarajućem periferijskom uglu

Dokaz formule za π23\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}