Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati formulu za zbir prvih n prirodnih brojeva. Kao dokazni metod koristićemo metod matematičke indukcije. Smatra se da su ovu formulu poznavali još i pitagorejci.
Teorema: Za bilo koji prirodni broj n važi sledeća formula: k=1∑nk=2n(n+1)
Dokaz:
1. Baza indukcije (n=1)
k=1∑1k=21⋅(1+1)1=21⋅(2)1=221=1
2. Induktivna hipoteza (n=m)
Pretpostavimo da važi: k=1∑mk=2m(m+1)
3. Induktivni korak (n=m+1)
Koristeći pretpostavku iz drugog koraka dokažimo da važi: k=1∑m+1k=2(m+1)(m+2)
Dakle, k=1∑m+1k=k=1∑mk+m+1=2m(m+1)+m+1=2m2+m+2m+2=2m2+2m+m+2=2m(m+2)+(m+2)=2(m+1)(m+2)
■
Коментари
Постави коментар