Dokaz formule za \(\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}\)

 Pozdrav svima . Danas ćemo dokazati formulu za   \(\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}\). Kao dokazni metod koristićemo metod direktnog dokaza. Teorema 1:  \[\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n}\]\[\text{gde je} \quad \chi(n)=\begin{cases} 1, & \text{if } n \equiv 1 \pmod{6}\\-1, & \text{if } n \equiv -1 \pmod{6}\\0, & \text{inače}\end{cases}\] Teorema 2: Imamo \[\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\frac{5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdots}{6 \cdot 6 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 18 \cdot 18 \cdot 24 \cdot 30 \cdots}\]izraz čiji su brojioci sekvenca neparnih prostih brojeva većih od \(3\) i čiji su imenioci parni brojevi koji su za jedan veći ili manji od odgovarajućih brojilaca. Dokaz: Na osnovu Teoreme 1 znamo da je \[\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=1-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{17}+\frac{1}{19}-\cdots\] takođe imamo \[\frac{1}{5} \cdot \frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{5}-\frac{1}{25}+\frac{1}{35}-\frac{1}{55}+\cdot

Dokaz formule za zbir prvih n prirodnih brojeva

Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati formulu za zbir prvih \(n\) prirodnih brojeva. Kao dokazni metod koristićemo metod matematičke indukcije. Smatra se da su ovu formulu poznavali još i pitagorejci.

Teorema: Za bilo koji prirodni broj \(n\) važi sledeća formula: \[\displaystyle\sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2}\]

Dokaz:

1. Baza indukcije (n=1)

\[\displaystyle\sum_{k=1}^{1} k=\frac{1 \cdot (1+1)}{2}\]\[1=\frac{1 \cdot (2)}{2}\]\[1=\frac{2}{2}\]\[1=1\]

2. Induktivna hipoteza (n=m)

Pretpostavimo da važi:  \[\displaystyle\sum_{k=1}^m k=\frac{m(m+1)}{2}\]

3. Induktivni korak (n=m+1)

Koristeći pretpostavku iz drugog koraka dokažimo da važi: \[\displaystyle\sum_{k=1}^{m+1} k=\frac{(m+1)(m+2)}{2}\]

Dakle, \[\displaystyle\sum_{k=1}^{m+1} k=\displaystyle\sum_{k=1}^{m} k+m+1=\]\[\frac{m(m+1)}{2}+m+1=\]\[\frac{m^2+m+2m+2}{2}=\]\[\frac{m^2+2m+m+2}{2}=\]\[\frac{m(m+2)+(m+2)}{2}=\]\[\frac{(m+1)(m+2)}{2}\]

\(\blacksquare\)


Коментари

Популарни постови са овог блога

Dokaz da je koren iz prostog broja iracionalan broj

Dokaz da je koren iz 2 iracionalan broj

Dokaz da je skup prostih brojeva beskonačan