Dokaz kosinusne teoreme
- Преузми линк
- X
- Имејл адреса
- Друге апликације
Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati kosinusnu teoremu. Kao dokazni metod koristićemo metod direktnog dokaza. Ovu teoremu je prvi formulisao persijski matematičar Kašani.
Teorema: Neka su \(a,b,c\) stranice bilo kog trougla i neka su uglovi \(\alpha,\beta,\gamma\) uglovi naspram stranica \(a,b,c\) , redom. Tada važe sledeće jednakosti:\[c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma\]\[b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta\]\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha\]
Dokaz:
Sada ćemo izvesti dokaz da važi jednakost:\[c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma\]Ostale dve jednakosti se dokazuju na analogan način.
Postoje tri moguća slučaja, a to su: \( \gamma\) je prav ugao, \( \gamma\) je oštar ugao i \( \gamma\) je tup ugao.
Prvi slučaj: \( \gamma=90^{\circ}\)
Na osnovu Pitagorine teoreme znamo da za pravougli trougao sa hipotenuzom \( c\) važi jednakost: \[c^2=a^2+b^2\] Sa druge strane kako je \( \cos\gamma=\cos 90^{\circ}=0\) važi da je:\[c^2=a^2+b^2-0\]\[c^2=a^2+b^2-2ab\cos 90^{\circ}\]\[c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma\]
Drugi slučaj: \( \gamma<90^{\circ}\)
Posmatrajmo sledeći dijagram na kom se nalazi oštrougli trougao \(\triangle ABC\) sa visinom \(h\).
Na osnovu Pitagorine teoreme možemo zapisati sledeće dve jednakosti:
\[a^2=h^2+p^2\]\[c^2=h^2+(b-p)^2\]
Kombinujući ove dve jednakosti dobijamo:\[c^2=a^2-p^2+(b-p)^2\]\[c^2=a^2-p^2+b^2-2bp+p^2\]\[c^2=a^2+b^2-2bp\]Kako je \( p=a\cos\gamma\) imamo: \[c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma\]
Treći slučaj: \( \gamma>90^{\circ}\)
Posmatrajmo sledeći dijagram na kom se nalazi tupougli trougao \(\triangle ABC\) sa visinom \(h\).
Na osnovu Pitagorine teoreme možemo zapisati sledeće dve jednakosti:\[a^2=h^2+p^2\]\[c^2=h^2+(b+p)^2\]Kombinujući ove dve jednakosti dobijamo:\[c^2=a^2-p^2+(b+p)^2\]\[c^2=a^2-p^2+b^2+2bp+p^2\]\[c^2=a^2+b^2+2bp\]Kako je \(p=a \cos \left(180^{\circ}-\gamma\right)\) imamo:\[c^2=a^2+b^2+2ab \cos\left(180^{\circ}-\gamma\right)\]Primenjujući identitet \(\cos\left(180^{\circ}-\gamma\right)=-\cos \gamma\) dobijamo: \[c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma\]
\(\blacksquare\)
- Преузми линк
- X
- Имејл адреса
- Друге апликације
Коментари
Постави коментар