Dokaz kosinusne teoreme

 Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati kosinusnu teoremu. Kao dokazni metod koristićemo metod direktnog dokaza. Ovu teoremu je prvi formulisao persijski matematičar Kašani.

Teorema: Neka su $a,b,c$ stranice bilo kog trougla i neka su uglovi $\alpha,\beta,\gamma$ uglovi naspram stranica $a,b,c$ , redom. Tada važe sledeće jednakosti:$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$$$$b^2=a^2+c^2-2ac\cos \beta$$$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$$

Dokaz:

Sada ćemo izvesti dokaz da važi jednakost:$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$$Ostale dve jednakosti se dokazuju na analogan način.

Postoje tri moguća slučaja, a to su: $\gamma$ je prav ugao, $\gamma$ je oštar ugao i $\gamma$ je tup ugao.

Prvi slučaj: $\gamma=90^{\circ}$

Na osnovu Pitagorine teoreme znamo da za pravougli trougao sa hipotenuzom $c$ važi jednakost: $$c^2=a^2+b^2$$ Sa druge strane kako je $\cos\gamma=\cos 90^{\circ}=0$ važi da je:$$c^2=a^2+b^2-0$$$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos 90^{\circ}$$$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$$

Drugi slučaj: $\gamma<90^{\circ}$

Posmatrajmo sledeći dijagram na kom se nalazi oštrougli trougao $\triangle ABC$ sa visinom $h$.

Na osnovu Pitagorine teoreme možemo zapisati sledeće dve jednakosti:

$$a^2=h^2+p^2$$$$c^2=h^2+(b-p)^2$$

Kombinujući ove dve jednakosti dobijamo:$$c^2=a^2-p^2+(b-p)^2$$$$c^2=a^2-p^2+b^2-2bp+p^2$$$$c^2=a^2+b^2-2bp$$Kako je $p=a\cos\gamma$ imamo: $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$$

Treći slučaj: $\gamma>90^{\circ}$

Posmatrajmo sledeći dijagram na kom se nalazi tupougli trougao $\triangle ABC$ sa visinom $h$.

Na osnovu Pitagorine teoreme možemo zapisati sledeće dve jednakosti:$$a^2=h^2+p^2$$$$c^2=h^2+(b+p)^2$$Kombinujući ove dve jednakosti dobijamo:$$c^2=a^2-p^2+(b+p)^2$$$$c^2=a^2-p^2+b^2+2bp+p^2$$$$c^2=a^2+b^2+2bp$$Kako je $p=a \cos \left(180^{\circ}-\gamma\right)$ imamo:$$c^2=a^2+b^2+2ab \cos\left(180^{\circ}-\gamma\right)$$Primenjujući identitet $\cos\left(180^{\circ}-\gamma\right)=-\cos \gamma$ dobijamo: $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$$

$\blacksquare$