Dokaz formule za \(\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}\)

 Pozdrav svima . Danas ćemo dokazati formulu za   \(\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}\). Kao dokazni metod koristićemo metod direktnog dokaza. Teorema 1:  \[\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\chi(n)}{n}\]\[\text{gde je} \quad \chi(n)=\begin{cases} 1, & \text{if } n \equiv 1 \pmod{6}\\-1, & \text{if } n \equiv -1 \pmod{6}\\0, & \text{inače}\end{cases}\] Teorema 2: Imamo \[\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\frac{5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdots}{6 \cdot 6 \cdot 12 \cdot 12 \cdot 18 \cdot 18 \cdot 24 \cdot 30 \cdots}\]izraz čiji su brojioci sekvenca neparnih prostih brojeva većih od \(3\) i čiji su imenioci parni brojevi koji su za jedan veći ili manji od odgovarajućih brojilaca. Dokaz: Na osnovu Teoreme 1 znamo da je \[\frac{\pi}{2\sqrt{3}}=1-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{17}+\frac{1}{19}-\cdots\] takođe imamo \[\frac{1}{5} \cdot \frac{\pi}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{5}-\frac{1}{25}+\frac{1}{35}-\frac{1}{55}+\cdot

Dokaz sinusne teoreme

 Pozdrav svima. Danas ćemo dokazati sinusnu teoremu. Kao dokazni metod koristićemo metod direktnog dokaza. Ovaj dokaz je prvi izveo persijski matematičar Tusi.

Teorema: Neka su \(a,b,c\) stranice bilo kog trougla , a \(R\) poluprečnik opisane kružnice oko tog trougla i neka su uglovi \(\alpha,\beta,\gamma\) uglovi naspram stranica \(a,b,c\) , redom. Tada važe sledeće jednakosti:\[\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R\]

Dokaz:

Sada ćemo izvesti dokaz da važi jednakost: \(\frac{a}{\sin\alpha}=2R\) . Jednakosti \(\frac{b}{\sin\beta}=2R\) i \(\frac{c}{\sin\gamma}=2R\) se dokazuju na analogan način.

Posmatrajmo sledeći dijagram na kom je prikazan trougao \(\triangle ABC\) sa opisanom kružnicom poluprečnika \(R\).

Kako su uglovi nad istom tetivom jednaki imamo da je \(\angle CA'B=\alpha\) . Takođe znamo da je ugao nad prečnikom kruga jednak \(90^{\circ}\), pa sledi da je \(\angle A'BC=90^{\circ}\) . Dalje, na osnovu definicije sinusne funkcije imamo da je \(a=2R\sin \angle CA'B\) , odnosno \(a=2R\sin \alpha\) . Odavde sledi da je \(\frac{a}{\sin\alpha}=2R\) .

\(\blacksquare\)

Коментари

Популарни постови са овог блога

Dokaz da je koren iz prostog broja iracionalan broj

Dokaz da je koren iz 2 iracionalan broj

Dokaz formule za \(\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}\)